Viral Que Significa Diagonal Dominante

Meta descripción: En este artículo, se explica el concepto de matriz diagonal dominante, tanto por filas como por columnas. También se discuten sus propiedades y aplicaciones.

En matemáticas, una matriz es un conjunto de números organizados en filas y columnas. Las matrices se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones, como la física, la ingeniería, la economía y la estadística.

En este artículo, se explica el concepto de matriz diagonal dominante, tanto por filas como por columnas. También se discuten sus propiedades y aplicaciones.

Definición

Una matriz cuadrada es diagonal dominante (por filas) si el valor absoluto del elemento de la diagonal principal de una fila es mayor o igual a la suma de los valores absolutos de todas las demás entradas (no diagonales) de esa fila.

De forma análoga se define una matriz diagonal dominante por columnas. En el caso de que la desigualdad sea estricta, se dice que la matriz es estrictamente diagonal dominante.

Por ejemplo, la siguiente matriz es diagonal dominante por filas:

A = [2 1 0; 0 3 2; 0 0 5] 

En cada fila, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor o igual a la suma de los valores absolutos de todas las demás entradas.

Propiedades

Las matrices diagonal dominantes tienen una serie de propiedades importantes, entre las que se incluyen:

• Son invertibles.
• Tienen una única solución para cualquier sistema de ecuaciones lineales Ax=b.
• Los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema de ecuaciones Ax=b.

Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales

Los sistemas de ecuaciones lineales son un conjunto de ecuaciones que se pueden expresar de la forma Ax=b, donde A es una matriz cuadrada, x es un vector de variables y b es un vector de constantes.

La solución de un sistema de ecuaciones lineales se puede encontrar mediante métodos directos, como la eliminación de Gauss, o mediante métodos iterativos, como los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

Los métodos iterativos son más eficientes que los métodos directos para sistemas de ecuaciones grandes o complejos. Sin embargo, su convergencia no está garantizada para todas las matrices.

En el caso de matrices diagonal dominantes, los métodos iterativos convergen a la solución del sistema de ecuaciones Ax=b. Esto se debe a que las matrices diagonal dominantes tienen una única solución y son invertibles.

Conclusión

Las matrices diagonal dominantes son un tipo de matriz con propiedades importantes. Estas matrices son invertibles, tienen una única solución para cualquier sistema de ecuaciones lineales y los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema.

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En este video se aborda el concepto de matriz diagonal dominante por filas, se muestran algunos por menores de la definición y se resuelve un ejercicio en el cual la matriz incluye variables.

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