Obligatorio Que Es Diagonal Inversa Último

En matemáticas, la diagonal inversa de una matriz es una matriz que tiene los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original. La diagonal principal de una matriz es la fila o columna que contiene los elementos principales de la matriz.

Definición

La diagonal inversa de una matriz A se denota por A^-1. Si A es una matriz cuadrada, entonces A^-1 es también una matriz cuadrada.

Propiedades

La diagonal inversa de una matriz tiene las siguientes propiedades:

• A * A^-1 = I, donde I es la matriz identidad.
• A^-1 * A = I.
• (A^-1)^-1 = A.

Cálculo de la diagonal inversa

El cálculo de la diagonal inversa de una matriz puede realizarse de varias maneras. Una forma es utilizar el método de Gauss-Jordan. Otra forma es utilizar el método de Cramer.

Método de Gauss-Jordan

Para calcular la diagonal inversa de una matriz A utilizando el método de Gauss-Jordan, se realizan los siguientes pasos:

1. Se escribe la matriz A en forma escalonada reducida.
2. Se intercambian las filas de manera que los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada reducida sean 1.
3. Se multiplican las filas de manera que los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada reducida sean los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original.

Método de Cramer

Para calcular la diagonal inversa de una matriz A utilizando el método de Cramer, se utilizan las siguientes fórmulas:

A^-1 = [ (c1/c_ii) * I ... (cn/c_ii) * I ] 

donde:

• c1, …, cn son los elementos de la diagonal principal de la matriz A.
• c_ii es el elemento i-ésimo de la diagonal principal de la matriz A.

Ejemplo

Consideremos la matriz A siguiente:

A = [ 2 1 1 3 ] 

La diagonal principal de la matriz A es (2, 3).

Para calcular la diagonal inversa de la matriz A utilizando el método de Gauss-Jordan, se procede de la siguiente manera:

R1 <- R1 / 2 R2 <- R2 - R1 [ 1 0.5 -1 1 ] 

Ahora, se intercambian las filas de manera que los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada reducida sean 1.

[ 1 1 -1 0.5 ] 

Finalmente, se multiplican las filas de manera que los elementos de la diagonal principal de la matriz escalonada reducida sean los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original.

[ 1 -1 0.5 2 ] 

Por lo tanto, la diagonal inversa de la matriz A es la matriz siguiente:

A^-1 = [ -1 1 2 0.5 ] 

Conclusión

La diagonal inversa de una matriz es una matriz que tiene los recíprocos de los elementos de la diagonal principal de la matriz original. La diagonal inversa de una matriz tiene varias propiedades útiles, como por ejemplo que A * A^-1 = I. El cálculo de la diagonal inversa de una matriz puede realizarse de varias maneras, como por ejemplo utilizando el método de Gauss-Jordan o el método de Cramer.

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